1個のサイコロを20回投げる。3以上の目が出る回数をXとするとき、Xの期待値、分散、標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを20回投げる。3以上の目が出る回数をXとするとき、Xの期待値、分散、標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布に従う確率変数の期待値、分散、標準偏差を求める問題です。

* サイコロを1回投げる時、3以上の目が出る確率は $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ となります。

* Xは二項分布 $B(n, p)$ に従います。ここで、$n = 20$ （試行回数）、$p = \frac{2}{3}$ （成功確率）です。

* 二項分布の期待値は $E(X) = np$ で計算できます。

* 二項分布の分散は $V(X) = np(1-p)$ で計算できます。

* 二項分布の標準偏差は $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$ で計算できます。

上記に基づいて、期待値、分散、標準偏差を計算します。

期待値：

$E(X) = np = 20 \times \frac{2}{3} = \frac{40}{3}$

分散：

$V(X) = np(1-p) = 20 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{9}$

標準偏差：

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{40}{9}} = \frac{\sqrt{40}}{3} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

期待値: $\frac{40}{3}$

分散: $\frac{40}{9}$

標準偏差: $\frac{2\sqrt{10}}{3}$