確率変数 $X$ が正規分布 $N(30, 4^2)$ に従うとき、以下の確率を求めます。 (1) $P(X \le 30)$ (2) $P(30 \le X \le 38)$ (3) $P(38 \le X \le 42)$ (4) $P(20 \le X \le 35)$ (5) $P(X \ge 35)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(30, 4^2)$ に従うとき、以下の確率を求めます。

(1) $P(X \le 30)$

(2) $P(30 \le X \le 38)$

(3) $P(38 \le X \le 42)$

(4) $P(20 \le X \le 35)$

(5) $P(X \ge 35)$

2. 解き方の手順

正規分布 $N(30, 4^2)$ に従う確率変数 $X$ を標準化するために、$Z = \frac{X - 30}{4}$ とおきます。$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従います。標準正規分布表または関数を使って確率を計算します。

(1) $P(X \le 30)$

$Z = \frac{30 - 30}{4} = 0$

$P(X \le 30) = P(Z \le 0) = 0.5$

(2) $P(30 \le X \le 38)$

$Z_1 = \frac{30 - 30}{4} = 0$

$Z_2 = \frac{38 - 30}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$P(30 \le X \le 38) = P(0 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772$

(3) $P(38 \le X \le 42)$

$Z_1 = \frac{38 - 30}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$Z_2 = \frac{42 - 30}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$P(38 \le X \le 42) = P(2 \le Z \le 3) = P(Z \le 3) - P(Z \le 2) = 0.9987 - 0.9772 = 0.0215$

(4) $P(20 \le X \le 35)$

$Z_1 = \frac{20 - 30}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$Z_2 = \frac{35 - 30}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

$P(20 \le X \le 35) = P(-2.5 \le Z \le 1.25) = P(Z \le 1.25) - P(Z \le -2.5) = 0.8944 - (1 - 0.9938) = 0.8944 - 0.0062 = 0.8882$

(5) $P(X \ge 35)$

$Z = \frac{35 - 30}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

$P(X \ge 35) = P(Z \ge 1.25) = 1 - P(Z \le 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$

3. 最終的な答え

(1) $P(X \le 30) = 0.5$

(2) $P(30 \le X \le 38) = 0.4772$

(3) $P(38 \le X \le 42) = 0.0215$

(4) $P(20 \le X \le 35) = 0.8882$

(5) $P(X \ge 35) = 0.1056$