確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、次の確率を求めよ。 (1) $P(0 \le Z \le 2)$ (2) $P(0 \le Z \le 1.54)$ (3) $P(1 \le Z \le 3)$ (4) $P(Z \ge 2.4)$ (5) $P(-2 \le Z \le 1)$ (6) $P(-1.2 \le Z)$

1. 問題の内容

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、次の確率を求めよ。

(1) $P(0 \le Z \le 2)$

(2) $P(0 \le Z \le 1.54)$

(3) $P(1 \le Z \le 3)$

(4) $P(Z \ge 2.4)$

(5) $P(-2 \le Z \le 1)$

(6) $P(-1.2 \le Z)$

2. 解き方の手順

標準正規分布表を用いて確率を計算します。標準正規分布表は、標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う確率変数 $Z$ に対して、$P(0 \le Z \le z)$ の値をまとめたものです。

(1) $P(0 \le Z \le 2)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ です。

(2) $P(0 \le Z \le 1.54)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 1.54) = 0.4382$ です。

(3) $P(1 \le Z \le 3)$

$P(1 \le Z \le 3) = P(0 \le Z \le 3) - P(0 \le Z \le 1)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 3) = 0.4987$、$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ です。

よって、$P(1 \le Z \le 3) = 0.4987 - 0.3413 = 0.1574$ です。

(4) $P(Z \ge 2.4)$

$P(Z \ge 2.4) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2.4)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 2.4) = 0.4918$ です。

よって、$P(Z \ge 2.4) = 0.5 - 0.4918 = 0.0082$ です。

(5) $P(-2 \le Z \le 1)$

$P(-2 \le Z \le 1) = P(-2 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1) = P(0 \le Z \le 2) + P(0 \le Z \le 1)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$、$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ です。

よって、$P(-2 \le Z \le 1) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185$ です。

(6) $P(-1.2 \le Z)$

$P(-1.2 \le Z) = P(-1.2 \le Z \le 0) + P(Z \ge 0) = P(0 \le Z \le 1.2) + 0.5$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 1.2) = 0.3849$ です。

よって、$P(-1.2 \le Z) = 0.3849 + 0.5 = 0.8849$ です。

3. 最終的な答え

(1) $0.4772$

(2) $0.4382$

(3) $0.1574$

(4) $0.0082$

(5) $0.8185$

(6) $0.8849$