確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、指定された確率を求めます。 (1) $f(x) = 0.5$ ($0 \le x \le 2$) について、$P(0 \le X \le 1)$ と $P(0.5 \le X \le 1.5)$ を求めます。 (2) $f(x) = 8x$ ($0 \le x \le 0.5$) について、$P(0 \le X \le 0.25)$ と $P(0.1 \le X \le 0.3)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、指定された確率を求めます。

(1) $f(x) = 0.5$ ($0 \le x \le 2$) について、$P(0 \le X \le 1)$ と $P(0.5 \le X \le 1.5)$ を求めます。

(2) $f(x) = 8x$ ($0 \le x \le 0.5$) について、$P(0 \le X \le 0.25)$ と $P(0.1 \le X \le 0.3)$ を求めます。

2. 解き方の手順

確率 $P(a \le X \le b)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を区間 $[a, b]$ で積分することで計算できます。

(1) $f(x) = 0.5$ の場合：

$P(0 \le X \le 1) = \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} 0.5 dx$

$P(0.5 \le X \le 1.5) = \int_{0.5}^{1.5} f(x) dx = \int_{0.5}^{1.5} 0.5 dx$

(2) $f(x) = 8x$ の場合：

$P(0 \le X \le 0.25) = \int_{0}^{0.25} f(x) dx = \int_{0}^{0.25} 8x dx$

$P(0.1 \le X \le 0.3) = \int_{0.1}^{0.3} f(x) dx = \int_{0.1}^{0.3} 8x dx$

これらの積分を計算します。

(1)

$P(0 \le X \le 1) = \int_{0}^{1} 0.5 dx = [0.5x]_{0}^{1} = 0.5(1) - 0.5(0) = 0.5$

$P(0.5 \le X \le 1.5) = \int_{0.5}^{1.5} 0.5 dx = [0.5x]_{0.5}^{1.5} = 0.5(1.5) - 0.5(0.5) = 0.75 - 0.25 = 0.5$

(2)

$P(0 \le X \le 0.25) = \int_{0}^{0.25} 8x dx = [4x^2]_{0}^{0.25} = 4(0.25)^2 - 4(0)^2 = 4(0.0625) = 0.25$

$P(0.1 \le X \le 0.3) = \int_{0.1}^{0.3} 8x dx = [4x^2]_{0.1}^{0.3} = 4(0.3)^2 - 4(0.1)^2 = 4(0.09) - 4(0.01) = 0.36 - 0.04 = 0.32$

3. 最終的な答え

(1)

$P(0 \le X \le 1) = 0.5$

$P(0.5 \le X \le 1.5) = 0.5$

(2)

$P(0 \le X \le 0.25) = 0.25$

$P(0.1 \le X \le 0.3) = 0.32$