K先生がご機嫌である確率に関する問題です。ご機嫌の日の翌日にご機嫌である確率は $\frac{2}{3}$、ご機嫌でない日の翌日にご機嫌である確率は $\frac{1}{2}$です。$n$日後にご機嫌である確率を $p_n$とするとき、以下の問いに答えます。ただし、今日はご機嫌であるとします。 (1) $p_1$, $p_2$, $p_3$を求めます。 (2) $p_{n+1}$を $p_n$を用いて表します。 (3) $p_n$を求めます。

1. 問題の内容

K先生がご機嫌である確率に関する問題です。ご機嫌の日の翌日にご機嫌である確率は $\frac{2}{3}$、ご機嫌でない日の翌日にご機嫌である確率は $\frac{1}{2}$です。$n$日後にご機嫌である確率を $p_n$とするとき、以下の問いに答えます。ただし、今日はご機嫌であるとします。

(1) $p_1$, $p_2$, $p_3$を求めます。

(2) $p_{n+1}$を $p_n$を用いて表します。

(3) $p_n$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $p_1$, $p_2$, $p_3$ を求める。

$p_1$: 今日ご機嫌なので、明日にご機嫌である確率は $\frac{2}{3}$。

$p_1 = \frac{2}{3}$

$p_2$: 明日ご機嫌で、明後日もご機嫌である確率と、明日ご機嫌でなく、明後日ご機嫌である確率を足し合わせます。

明日ご機嫌である確率は $p_1 = \frac{2}{3}$、明日ご機嫌でない確率は $1 - p_1 = \frac{1}{3}$。

$p_2 = p_1 \times \frac{2}{3} + (1 - p_1) \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{9} + \frac{1}{6} = \frac{8+3}{18} = \frac{11}{18}$

$p_3$: 上と同様に考えます。

$p_3 = p_2 \times \frac{2}{3} + (1 - p_2) \times \frac{1}{2} = \frac{11}{18} \times \frac{2}{3} + (1 - \frac{11}{18}) \times \frac{1}{2} = \frac{11}{18} \times \frac{2}{3} + \frac{7}{18} \times \frac{1}{2} = \frac{22}{54} + \frac{7}{36} = \frac{44}{108} + \frac{21}{108} = \frac{65}{108}$

(2) $p_{n+1}$を $p_n$を用いて表す。

$n$日後にご機嫌である確率が $p_n$ であるとき、$n+1$日後にご機嫌である確率は、$n$日後にご機嫌であり、かつ$n+1$日後もご機嫌である確率と、$n$日後にご機嫌でなく、かつ$n+1$日後にご機嫌である確率を足し合わせたものです。

$p_{n+1} = p_n \times \frac{2}{3} + (1 - p_n) \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}p_n = (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})p_n + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}p_n + \frac{1}{2}$

$p_{n+1} = \frac{1}{6} p_n + \frac{1}{2}$

(3) $p_n$を求める。

$p_{n+1} = \frac{1}{6} p_n + \frac{1}{2}$を変形します。

$p_{n+1} - \alpha = \frac{1}{6} (p_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求めます。

$p_{n+1} = \frac{1}{6} p_n + \frac{5}{6}\alpha$

よって $\frac{5}{6} \alpha = \frac{1}{2}$ より $\alpha = \frac{3}{5}$

$p_{n+1} - \frac{3}{5} = \frac{1}{6} (p_n - \frac{3}{5})$

$q_n = p_n - \frac{3}{5}$ とおくと、

$q_{n+1} = \frac{1}{6} q_n$

$q_1 = p_1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10 - 9}{15} = \frac{1}{15}$

よって $q_n = q_1 (\frac{1}{6})^{n-1} = \frac{1}{15} (\frac{1}{6})^{n-1}$

$p_n = q_n + \frac{3}{5} = \frac{1}{15} (\frac{1}{6})^{n-1} + \frac{3}{5} = \frac{1}{15} \times \frac{1}{6^{n-1}} + \frac{9}{15} = \frac{1}{15} (\frac{1}{6^{n-1}} + 9)$

$p_n = \frac{1}{15} (\frac{1}{6^{n-1}} + 9)$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{2}{3}, p_2 = \frac{11}{18}, p_3 = \frac{65}{108}$

(2) $p_{n+1} = \frac{1}{6} p_n + \frac{1}{2}$

(3) $p_n = \frac{1}{15} (\frac{1}{6^{n-1}} + 9)$