鉛の融点を12回測定したデータが与えられている。これらの測定値は正規分布 $N(\mu, 6.5^2)$ に従うものとして、鉛の融点 $\mu$ の95%信頼区間を求める。

1. 問題の内容

鉛の融点を12回測定したデータが与えられている。これらの測定値は正規分布 $N(\mu, 6.5^2)$ に従うものとして、鉛の融点 $\mu$ の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから標本平均 $\bar{x}$ を計算する。データは以下の通りである。

327.1, 325.5, 336.8, 324.2, 328.5, 321.0, 332.2, 321.8, 317.1, 337.8, 324.0, 326.8

$\bar{x} = \frac{327.1 + 325.5 + 336.8 + 324.2 + 328.5 + 321.0 + 332.2 + 321.8 + 317.1 + 337.8 + 324.0 + 326.8}{12} = \frac{3922.8}{12} = 326.9$

次に、母分散 $\sigma^2 = 6.5^2$ が既知の場合の信頼区間を求める公式を使用する。95%信頼区間は次の式で与えられる。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}$ は標本平均、$n$ は標本サイズ（ここでは12）、$\sigma$ は母標準偏差（ここでは6.5）、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の $\alpha/2$ 上側パーセント点である。95%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ であり、$\alpha/2 = 0.025$ である。$z_{0.025}$ は1.96である。

したがって、95%信頼区間は次のようになる。

$326.9 \pm 1.96 \cdot \frac{6.5}{\sqrt{12}}$

$326.9 \pm 1.96 \cdot \frac{6.5}{3.464}$

$326.9 \pm 1.96 \cdot 1.876$

$326.9 \pm 3.677$

下限: $326.9 - 3.677 = 323.223$

上限: $326.9 + 3.677 = 330.577$

3. 最終的な答え

鉛の融点$\mu$の95%信頼区間は [323.223, 330.577] である。