$xy$平面上に曲線$C: y = \frac{1}{4}x^2 + x$ と直線$l: y = x + 4$ がある。 (1) 曲線$C$と直線$l$の交点$P, Q$の座標を求める。 (2) 曲線$C$上の点$R$が点$P$から点$Q$まで動くとき、三角形$PQR$の面積が最大となる点$R$の座標を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上に曲線$C: y = \frac{1}{4}x^2 + x$ と直線$l: y = x + 4$ がある。

(1) 曲線$C$と直線$l$の交点$P, Q$の座標を求める。

(2) 曲線$C$上の点$R$が点$P$から点$Q$まで動くとき、三角形$PQR$の面積が最大となる点$R$の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 交点$P, Q$の座標を求めるには、曲線$C$と直線$l$の方程式を連立させて解けばよい。

$\frac{1}{4}x^2 + x = x + 4$

$\frac{1}{4}x^2 = 4$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

$x = 4$ のとき $y = 4 + 4 = 8$

$x = -4$ のとき $y = -4 + 4 = 0$

したがって、$P(-4, 0)$、$Q(4, 8)$

(2) 三角形$PQR$の面積が最大になるのは、点$R$が直線$l$に平行な直線で曲線$C$と接するときである。

$C$上の点$R$における接線の傾きが$1$となるときを考える。

$y = \frac{1}{4}x^2 + x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x + 1$

$\frac{1}{2}x + 1 = 1$

$\frac{1}{2}x = 0$

$x = 0$

$x = 0$ のとき $y = \frac{1}{4}(0)^2 + 0 = 0$

したがって、$R(0, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $P(-4, 0)$, $Q(4, 8)$

(2) $R(0, 0)$