数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられている。 $a_n = \frac{n-1}{4} + ケ$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ $b_n = サ$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ 数列 $\{c_n\}$ は $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の両方に現れる数を小さい順に並べてできる数列である。 (i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求める問題。 (ii) $\sum_{k=1}^m c_k \geq 20000$ を満たす最小の自然数 $m$ を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられている。

$a_n = \frac{n-1}{4} + ケ$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

$b_n = サ$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

数列 $\{c_n\}$ は $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の両方に現れる数を小さい順に並べてできる数列である。

(i) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求める問題。

(ii) $\sum_{k=1}^m c_k \geq 20000$ を満たす最小の自然数 $m$ を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項の空欄を埋める。問題文より、$\{a_n\}$は初項が1で公差が4の等差数列なので、$a_n = 4n-3$。よって、$ケ=4$。

また、$\{b_n\}$は$1, 2, 3,...$であるから、$b_n = n$であるので$サ=n$

数列$\{c_n\}$は$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の項として両方に現れる数を小さいものから順に並べてできる数列である。数列 $\{a_n\}$ の項は $4n-3$ であるので、これは $4$ で割ったときの余りが $1$ となる正の整数である。よって、イ $= 4$、チ $= 1$ である。

また、$b_n$を$4$で割った余りを$r_n$とすると、$b_n = n$だから、数列 $\{b_n\}$ の項が数列 $\{c_n\}$ の項として現れるための必要十分条件は、$r_n = 1$ かつ $b_n>0$。

数列 $\{c_n\}$ は $4n-3$ の形である。

$n=1, 2, 3, \dots$ に対して、$c_n = 4n-3$ が成り立つ。

$r_1 = 1, r_2 = 2, r_3 = 3, r_4 = 0, r_5 = 1$ となるので、

$r_1 = 1, r_5 = 1, \dots$。 よって$c_1 = 1, c_2 = 5, c_3 = 9, c_4=13, \dots$ となる。

すなわち、数列 $\{c_n\}$ は、初項 $1$, 公差 $4$ の等差数列。

$c_n = 4n - 3$

次に、$m$ の値を求める。

$\sum_{k=1}^m c_k = \sum_{k=1}^m (4k - 3) = 4 \sum_{k=1}^m k - 3 \sum_{k=1}^m 1 = 4 \cdot \frac{m(m+1)}{2} - 3m = 2m(m+1) - 3m = 2m^2 + 2m - 3m = 2m^2 - m$

$\sum_{k=1}^m c_k \geq 20000$ より、 $2m^2 - m \geq 20000$

$2m^2 - m - 20000 \geq 0$

$m = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-20000)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 160000}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{160001}}{4}$

$\sqrt{160001} \approx \sqrt{160000} = 400$

$m = \frac{1 \pm 400}{4}$

$m \approx \frac{401}{4} = 100.25$

$m=100$ を代入すると、$\sum_{k=1}^{100} c_k = 2(100^2) - 100 = 20000 - 100 = 19900$

$m=101$ を代入すると、$\sum_{k=1}^{101} c_k = 2(101^2) - 101 = 2(10201) - 101 = 20402 - 101 = 20301$

よって、 $\sum_{k=1}^m c_k \geq 20000$ を満たす最小の自然数は $101$。

3. 最終的な答え

ケ = 4

サ = n

イ = 4

チ = 1

c_n = 4n-3

ハ = 101