以下の連立方程式について、(1) 係数行列の階数、(2) 正則性、(3) 解を持つための $a$ の条件、(4) $a$ が条件を満たすときの解を求める問題です。 $\begin{cases} x + 3z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ x + 3y + z = a \end{cases}$

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3. 連立方程式に関する問題

1. 問題の内容

以下の連立方程式について、(1) 係数行列の階数、(2) 正則性、(3) 解を持つための $a$ の条件、(4) $a$ が条件を満たすときの解を求める問題です。

$\begin{cases}

x + 3z = 1 \\

2x + 3y + 4z = 3 \\

x + 3y + z = a

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 係数行列 $A$ を求め、その階数を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

掃き出し法で簡約化します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$rank(A) = 2$

(2) 係数行列 $A$ は 3x3 の正方行列ですが、階数が2なので、正則ではありません。

(3) 拡大係数行列を作り、掃き出し法を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & a-1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a-2 \end{pmatrix}$

解を持つためには、$a-2 = 0$ が必要です。

したがって、$a = 2$

(4) $a = 2$ のとき、連立方程式は以下のようになります。

$\begin{cases}

x + 3z = 1 \\

3y - 2z = 1

\end{cases}$

$z = t$ とおくと、$x = 1 - 3t$、$y = \frac{1 + 2t}{3}$

したがって、解は $(x, y, z) = (1 - 3t, \frac{1 + 2t}{3}, t)$ (ただし、$t$ は任意の実数)

3. 最終的な答え

(1) $rank(A) = 2$

(2) $A$ は正則ではない。

(3) $a = 2$

(4) $(x, y, z) = (1 - 3t, \frac{1 + 2t}{3}, t)$ (ただし、$t$ は任意の実数)