問題は2つの部分に分かれています。 (1) 行列 $X = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ と単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ について、$XE = EX = X$ が成り立つことを示す。 (2) 与えられた正方行列 $A$ が、対応する正方行列 $X$ の逆行列であるかどうかを調べる。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) 行列 $X = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ と単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ について、$XE = EX = X$ が成り立つことを示す。

(2) 与えられた正方行列 $A$ が、対応する正方行列 $X$ の逆行列であるかどうかを調べる。

2. 解き方の手順

(1) $XE = EX = X$ を示す

$XE$ を計算します。

$XE = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 1 + c \cdot 0 & a \cdot 0 + c \cdot 1 \\ b \cdot 1 + d \cdot 0 & b \cdot 0 + d \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = X$

次に、$EX$ を計算します。

$EX = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot a + 0 \cdot b & 1 \cdot c + 0 \cdot d \\ 0 \cdot a + 1 \cdot b & 0 \cdot c + 1 \cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = X$

したがって、$XE = EX = X$ が成り立ちます。

(2) $A$ が $X$ の逆行列かどうかを調べる

行列 $A$ が行列 $X$ の逆行列であるためには、$AX = XA = E$ が成り立つ必要があります。ここで、$E$ は単位行列です。各場合について、$AX$ を計算し、単位行列 $E$ になるかどうかを調べます。

(i) $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$

$AX = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -9 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot7 + 3\cdot(-9) & 4\cdot(-3) + 3\cdot4 \\ 9\cdot7 + 7\cdot(-9) & 9\cdot(-3) + 7\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 - 27 & -12 + 12 \\ 63 - 63 & -27 + 28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

$XA = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -9 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\cdot4 + (-3)\cdot9 & 7\cdot3 + (-3)\cdot7 \\ -9\cdot4 + 4\cdot9 & -9\cdot3 + 4\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 - 27 & 21 - 21 \\ -36 + 36 & -27 + 28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

よって、$A$ は $X$ の逆行列です。

(ii) $A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -6 & 8 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$AX = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -6 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot4 + (-5)\cdot3 & 4\cdot5 + (-5)\cdot4 \\ -6\cdot4 + 8\cdot3 & -6\cdot5 + 8\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 - 15 & 20 - 20 \\ -24 + 24 & -30 + 32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \ne E$

よって、$A$ は $X$ の逆行列ではありません。

(iii) $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -8 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \end{pmatrix}$

$AX = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & -8 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-5+6 & 0+0+0 & 0+10-10 \\ 5+1-6 & 1+0+0 & -8-2+10 \\ 0-3+3 & 0+0+0 & 0+6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

$XA = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -8 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1+0 & 25-1-24 & 10-2-8 \\ 0+0+0 & -5+0+6 & -2+0+2 \\ 0+0+0 & 15+0-15 & 6+0-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

よって、$A$ は $X$ の逆行列です。

3. 最終的な答え

(1) $XE = EX = X$ である。

(2)

(i) $A$ は $X$ の逆行列である。

(ii) $A$ は $X$ の逆行列ではない。

(iii) $A$ は $X$ の逆行列である。