与えられた等比数列の一般項と第5項を求める問題です。 (1) -2, 6, -18, ... (2) $\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, 6\sqrt{3}, ...$ (3) $\frac{3}{2}, 1, \frac{2}{3}, ...$

1. 問題の内容

与えられた等比数列の一般項と第5項を求める問題です。

(1) -2, 6, -18, ...

(2) $\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, 6\sqrt{3}, ...$

(3) $\frac{3}{2}, 1, \frac{2}{3}, ...$

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項番号です。第5項は $n=5$ を代入することで求められます。

(3) の数列のみ、初項 $a_1$ および公比 $r$ を $a_n = a_1 r^{n-1}$ に代入すると、一般項の指数が $n-1$ となるので、問題文中の一般項の指数 $n-2$ に合わせるため、 $a_n = a_1 r^{n-2} \times r$ と変形して適用します。

(1)

初項 $a_1 = -2$、公比 $r = \frac{6}{-2} = -3$

一般項 $a_n = -2 \cdot (-3)^{n-1}$

第5項 $a_5 = -2 \cdot (-3)^{5-1} = -2 \cdot (-3)^4 = -2 \cdot 81 = -162$

(2)

初項 $a_1 = \sqrt{3}$、公比 $r = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$

一般項 $a_n = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{6})^{n-1}$

第5項 $a_5 = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{6})^{5-1} = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{6})^4 = \sqrt{3} \cdot 36 = 36\sqrt{3}$

(3)

初項 $a_1 = \frac{3}{2}$、公比 $r = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

$a_n = \frac{3}{2} (\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3})^{n-2} (\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} (\frac{2}{3})^{n-2} = (\frac{2}{3})^{n-2}$

第5項 $a_5 = (\frac{2}{3})^{5-2} = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: -2 * (-3)^(n-1), 第5項: -162

(2) 一般項: $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6})^{n-1}$, 第5項: 36$\sqrt{3}$

(3) 一般項: $(\frac{2}{3})^{n-2}$, 第5項: $\frac{8}{27}$