(3) 右図のような円錐の展開図において、円錐の底面の半径を求める問題です。 (4) 底面の半径が4cm、高さが3cmの円柱と、底面の半径が4cm、高さが3cmの円錐を合わせた立体の体積を求める問題です。 (5) 体積が144 cm³の円錐を底面に平行な平面で切ると、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が2:1であった。上の部分の円錐の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

(3) 右図のような円錐の展開図において、円錐の底面の半径を求める問題です。

(4) 底面の半径が4cm、高さが3cmの円柱と、底面の半径が4cm、高さが3cmの円錐を合わせた立体の体積を求める問題です。

(5) 体積が144 cm³の円錐を底面に平行な平面で切ると、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が2:1であった。上の部分の円錐の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(3) 円錐の展開図の中心角は150度、母線の長さは8cmです。底面の半径を$r$とすると、

$2\pi r = 2\pi \times 8 \times \frac{150}{360}$

$r = 8 \times \frac{150}{360} = 8 \times \frac{5}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ cm。

(4) 円柱の体積は、$V_{円柱} = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 3 = 48\pi$ cm³です。

円錐の体積は、$V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 3 = 16\pi$ cm³です。

全体の体積は、$V = V_{円柱} + V_{円錐} = 48\pi + 16\pi = 64\pi$ cm³です。

(5) 底面の円の半径と切り口の円の半径の比が2:1なので、高さの比も2:1になります。

上の円錐と全体の円錐の相似比は1:2なので、体積比は$1^3:2^3 = 1:8$となります。

全体の円錐の体積は144 cm³なので、上の円錐の体積は$\frac{1}{8} \times 144 = 18$ cm³です。

3. 最終的な答え

(3) $\frac{10}{3}$

(4) $64\pi$

(5) 18