直角三角形ABCに内接する円Oがあり、辺BCとの接点をP、辺ACとの接点をQ、辺ABとの接点をRとする。BP = 3, CP = 2のとき、円Oの半径を求めよ。

## 問題96

1. 問題の内容

直角三角形ABCに内接する円Oがあり、辺BCとの接点をP、辺ACとの接点をQ、辺ABとの接点をRとする。BP = 3, CP = 2のとき、円Oの半径を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心をO、半径を$r$とする。

接線AR, BR, CP, CQの長さはそれぞれ等しいので、AR=AQ=xとおく。

また、BP=3, CP=2なので、BR=3, CQ=2となる。

すると、AB=AR+RB=x+3, BC=BP+PC=3+2=5, CA=CQ+QA=2+xとなる。

三角形ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

$(x+3)^2+(x+2)^2 = 5^2$

$x^2+6x+9+x^2+4x+4 = 25$

$2x^2+10x+13 = 25$

$2x^2+10x-12=0$

$x^2+5x-6 = 0$

$(x+6)(x-1)=0$

$x>0$より、$x=1$

次に、直角三角形の内接円の半径を求める公式を利用する。直角三角形ABCの面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2}AB \times AC = \frac{1}{2}(x+3)(x+2)=\frac{1}{2}(1+3)(1+2)=\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$

内接円の半径rは

$r = \frac{AB+AC-BC}{2}$

$r = \frac{(x+3)+(x+2)-5}{2} = \frac{(1+3)+(1+2)-5}{2} = \frac{4+3-5}{2} = \frac{2}{2}=1$

3. 最終的な答え

円Oの半径は1

## 問題97

1. 問題の内容

2つの円OとO'があり、半径はそれぞれ7と2である。直線ABは2つの円の共通接線で、A, Bは接点である。中心間の距離OO'が13のとき、線分ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

点O'から線分OAに垂線を下ろし、交点をCとする。

すると、四角形ABO'Cは長方形になる。

したがって、$AC = O'B = 2$、 $OC = AB$。

直角三角形OO'Cにおいて、

$OO'^2 = OC^2 + O'C^2$

$13^2 = OC^2 + (OA - AC)^2$

$13^2 = AB^2 + (7 - 2)^2$

$169 = AB^2 + 25$

$AB^2 = 169 - 25$

$AB^2 = 144$

$AB = 12$

3. 最終的な答え

線分ABの長さは12

## 問題98 (1)

1. 問題の内容

円外の点Pから円に接線PAを引き、PAの長さはxである。また、点Pから円に引いた直線が円と2点で交わり、点Pから近い方の交点までの距離は5、遠い方の交点までの距離は6+5=11である。このとき、xの値を求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理より、$PA^2 = PB \times PC$

$x^2 = 5 \times 11$

$x^2 = 55$

$x = \sqrt{55}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{55}$

## 問題98 (2)

1. 問題の内容

円に弦ABがあり、弦AB上に点Pがある。AP=3, BP=4とする。また、点Pを通る弦CDがあり、CP=x, DP=4とする。このとき、xの値を求めよ。

2. 解き方の手順

方べきの定理より、$AP \times BP = CP \times DP$

$3 \times 4 = x \times 4$

$12 = 4x$

$x = 3$

3. 最終的な答え

$x = 3$