平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、線分AF:FEの比と、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、線分AF:FEの比と、三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める。

2. 解き方の手順

まず、AF:FEを求める。

* 平行四辺形の性質より、$BO = OD$。

* EはBCの中点なので、$BE = EC$。

* $\triangle BEF$と$\triangle DAF$において、

* $\angle EBF = \angle FDA$（平行線の錯角）

* $\angle BEF = \angle DAF$（平行線の錯角）

よって、$\triangle BEF \sim \triangle DAF$。

* したがって、$BF:DF = BE:DA$。ここで、$DA = BC$であり、$BE = \frac{1}{2}BC$なので、$BE:DA = BE:BC = \frac{1}{2}BC:BC = 1:2$。

* よって、$BF:DF = 1:2$より、$BF:BD = 1:3$。

次に、$\triangle ABF$と直線AEについて、メネラウスの定理を用いると、

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CO}{OA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$BE = EC$なので$\frac{BE}{EC} = 1$であり、$CO = OA$なので$\frac{CO}{OA} = 1$。

よって、$\frac{AF}{FE} \cdot \frac{EB}{BC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$である。

* $\frac{AF}{FB} = 1$である。

* $\frac{AF}{FE} = \frac{BO}{OD} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$なので$\frac{AF}{FB} = 1$。

$\triangle BEF \sim \triangle DAF$より、$AF:FE = AD:BE = BC : \frac{1}{2}BC = 2:1$。

したがって、$AF:FE = 3:1$となる。

次に、$\triangle AFO : \square ABCD$を求める。

* $\triangle ABD = \frac{1}{2} \square ABCD$

* $\triangle AFO = \frac{AF}{AE} \cdot \frac{AO}{AD} \triangle ABD$

* $\frac{AF}{AE} = \frac{AF}{AF+FE} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$

* $\frac{AO}{AO} = \frac{1}{2}$

$\triangle AFO = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \triangle ABD = \frac{3}{8} \triangle ABD = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \square ABCD = \frac{3}{16} \square ABCD$

よって、$\triangle AFO : \square ABCD = 3:16$

3. 最終的な答え

AF:FE = 3:1

$\triangle$AFO : $\square$ABCD = 3:16