三角形ABCにおいて、$AB = 12$, $BC = 14$, $AC = 9$である。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 12$, $BC = 14$, $AC = 9$である。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角の二等分線の定理を用いる。角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、以下の関係が成り立つ。

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

問題文より、$AB = 12$, $AC = 9$なので、

$\frac{BD}{DC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

よって、$BD:DC = 4:3$となる。

また、$BC = BD + DC = 14$である。

$BD = x$とすると、$DC = 14 - x$となるので、

$\frac{x}{14-x} = \frac{4}{3}$

両辺に$3(14-x)$をかけると、

$3x = 4(14-x)$

$3x = 56 - 4x$

$7x = 56$

$x = 8$

したがって、$BD = 8$となる。

3. 最終的な答え

8