右図において、点Aはy軸上にあり、点B, C, E, Fはx軸上にある。EO = OFである。点D, Gはそれぞれ線分AB, AC上にある。四角形DEFGは正方形である。点Aの座標は(0, 5)、点Bの座標は(-2, 0)である。このとき、 (1) 直線ACの式を求める。 (2) 点Eの座標を求める。

1. 問題の内容

右図において、点Aはy軸上にあり、点B, C, E, Fはx軸上にある。EO = OFである。点D, Gはそれぞれ線分AB, AC上にある。四角形DEFGは正方形である。点Aの座標は(0, 5)、点Bの座標は(-2, 0)である。このとき、

(1) 直線ACの式を求める。

(2) 点Eの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ACの式を求める

点Aの座標は(0, 5)であるから、直線ACのy切片は5である。したがって、直線ACの式は$y = ax + 5$と表せる。

ここで、DE = EFであるから、点Dのy座標は点Eのx座標の絶対値に等しくなる。また、DG = DEであるから、点Gのx座標は点Dのy座標に等しくなる。点Gは線分AC上にあるため、点Gの座標を$(d, d)$とすると、これは直線AC上の点であるから、

$d = ad + 5$

$d(1 - a) = 5$

$d = \frac{5}{1-a}$

また、直線ABの傾きは $\frac{5-0}{0-(-2)} = \frac{5}{2}$であるから、直線ABの式は$y = \frac{5}{2}x + 5$と表せる。点Dは直線AB上にあるので、点Dの座標を$(-d, d)$とすると、

$d = \frac{5}{2}(-d) + 5$

$d = -\frac{5}{2}d + 5$

$\frac{7}{2}d = 5$

$d = \frac{10}{7}$

これを$d = \frac{5}{1-a}$に代入すると、

$\frac{10}{7} = \frac{5}{1-a}$

$10(1-a) = 35$

$1 - a = \frac{7}{2}$

$a = 1 - \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}$

したがって、直線ACの式は$y = -\frac{5}{2}x + 5$である。

(2) 点Eの座標を求める

点Eのx座標は$-d = -\frac{10}{7}$であるから、点Eの座標は$(-\frac{10}{7}, 0)$である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{5}{2}x + 5$

(2) $(-\frac{10}{7}, 0)$