三角形ABCにおいて、$BC:CP = 5:3$、$CQ:QA = 2:7$であるとき、$AR:RB$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC:CP = 5:3$、$CQ:QA = 2:7$であるとき、$AR:RB$を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理を用いることで解くことができます。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがあるとき、3直線AP、BQ、CRが一点で交わるならば、以下の式が成り立つというものです。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題文より、$BC:CP = 5:3$なので、$BP:PC$を求めます。

$BP = BC + CP = 5 + 3 = 8$となるので、$BP:PC = 8:3$となります。

また、$CQ:QA = 2:7$は問題文より与えられています。

チェバの定理の式にこれらの値を代入すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{7} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{16}{21} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{21}{16}$

3. 最終的な答え

$AR:RB = 21:16$