三角形ABCにおいて、PB:BC = 1:2、CR:RA = 4:3であるとき、PQ:QRを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、PB:BC = 1:2、CR:RA = 4:3であるとき、PQ:QRを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理を利用して解きます。

三角形ARCと直線PBについて、メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AP}{PR} \cdot \frac{RC}{CA} \cdot \frac{QB}{BA} = 1$

ここで、問題より、CR:RA = 4:3なので、RC:CA = 4:(4+3) = 4:7 となります。

また、PB:BC = 1:2 なので、BC = 2PB、PB = xとすると、BC = 2xとなり、PC = PB+BC = x+2x = 3xとなります。

次に、メネラウスの定理の式に値を代入していきます。

$\frac{AP}{PR} = \frac{AQ+QP}{PR}$　より、求めたい　$\frac{PQ}{QR}$　を求めるために、$\frac{AP}{PR}$　について解いていきます。

$\frac{AP}{PR} \cdot \frac{RC}{CA} \cdot \frac{QB}{BA} = 1$

$\frac{AP}{PR} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{QB}{BA} = 1$

$\frac{AP}{PR} = \frac{7}{4} \cdot \frac{BA}{QB}$

次に、チェバの定理を利用して、$\frac{BQ}{QA}$を求めます。

チェバの定理より、

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QR}{RA} = 1$　が成立します。

$\frac{PC}{PB} = \frac{3x}{x}=3$, $\frac{AP}{PR} = \frac{7}{4}\cdot \frac{BA}{QB}$　より

$\frac{AR}{RC}=\frac{3}{4}$

次に、線分ABを基準にします。

BC=2PBなので、BP:PC = 1:2

$BC = \frac{2}{3} BP$

メネラウスの定理より、

$\frac{PB}{BC} \cdot \frac{CR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{AQ}{QP} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{AQ}{QP} = 1$

$\frac{AQ}{QP} = \frac{3}{2}$

$AQ = \frac{3}{2} QP$

したがって、$AP = AQ + QP = \frac{3}{2} QP + QP = \frac{5}{2} QP$

メネラウスの定理を再度用いると、

$1 = \frac{PB}{BC}\cdot\frac{CR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{AQ}{QP}$

$\frac{AQ}{QP} = \frac{3}{2}$

$AQ = \frac{3}{2}QP$

チェバの定理を用いると、

$\frac{AR}{RC}\cdot\frac{CB}{BP}\cdot\frac{PQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot 2 \cdot \frac{PQ}{AQ}=1$

$\frac{3}{2} \frac{PQ}{AQ}=1$

$\frac{PQ}{AQ} = \frac{2}{3}$

$AQ = \frac{3}{2}PQ$

メネラウスの定理 (△ABRと線PCQ):

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RQ}{QA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

$AP/PB = \frac{AQ}{RQ} \frac{CR}{BC} = \frac{AQ}{RQ} \frac{4/7}{(2/3+1) } = \frac{AQ}{RQ}\frac{12}{35} \frac{1}{1} = \frac{35}{12} = \frac{AP}{PB}$

$\frac{PQ}{RQ}=\frac{3}{4} \cdot \frac{AP}{AR}$

$\frac{PB}{BC}*\frac{CR}{RA}*\frac{AQ}{QP}=1$

最終的に、$\frac{PQ}{QR}=\frac{3}{1}$

3. 最終的な答え

PQ:QR = 3:4