問題は、三角比に関する2つのパートに分かれています。 パート1（問題19）: $\theta$が鋭角で、$\sin \theta = \frac{2}{3}$であるとき、以下の値を求めます。 (1) $\cos \theta$ (2) $\tan \theta$ (3) $\sin(90^\circ - \theta)$ (4) $\cos(90^\circ - \theta)$ (5) $\tan(90^\circ - \theta)$ (6) $\sin(180^\circ - \theta)$ (7) $\cos(180^\circ - \theta)$ (8) $\tan(180^\circ - \theta)$ (9) $\sin(90^\circ + \theta)$ (10) $\cos(90^\circ + \theta)$ (11) $\tan(90^\circ + \theta)$ パート2（問題20）: (1) $\theta$が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$であるとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めます。 (2) $90^\circ < \theta < 180^\circ$で、$\sin \theta = \frac{3}{4}$であるとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めます。 (3) $0^\circ < \theta < 180^\circ$で、$\tan \theta = -\frac{4}{3}$であるとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求めます。

はい、承知しました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

問題は、三角比に関する2つのパートに分かれています。

パート1（問題19）: $\theta$が鋭角で、$\sin \theta = \frac{2}{3}$であるとき、以下の値を求めます。

(1) $\cos \theta$

(2) $\tan \theta$

(3) $\sin(90^\circ - \theta)$

(4) $\cos(90^\circ - \theta)$

(5) $\tan(90^\circ - \theta)$

(6) $\sin(180^\circ - \theta)$

(7) $\cos(180^\circ - \theta)$

(8) $\tan(180^\circ - \theta)$

(9) $\sin(90^\circ + \theta)$

(10) $\cos(90^\circ + \theta)$

(11) $\tan(90^\circ + \theta)$

パート2（問題20）:

(1) $\theta$が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$であるとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めます。

(2) $90^\circ < \theta < 180^\circ$で、$\sin \theta = \frac{3}{4}$であるとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めます。

(3) $0^\circ < \theta < 180^\circ$で、$\tan \theta = -\frac{4}{3}$であるとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求めます。

2. 解き方の手順

パート1（問題19）:

$\sin \theta = \frac{2}{3}$が与えられているので、三角比の相互関係を利用して$\cos \theta$と$\tan \theta$を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$

$\theta$が鋭角なので、$\cos \theta > 0$。よって、

$\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

次に、三角関数の性質を利用して、残りの値を求めます。

(3) $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(4) $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta = \frac{2}{3}$

(5) $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(6) $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta = \frac{2}{3}$

(7) $\cos(180^\circ - \theta) = - \cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

(8) $\tan(180^\circ - \theta) = - \tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(9) $\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(10) $\cos(90^\circ + \theta) = - \sin \theta = -\frac{2}{3}$

(11) $\tan(90^\circ + \theta) = - \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

パート2（問題20）:

(1) $\cos \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$を求めます。$\theta$が鋭角なので、$\sin \theta > 0$。

$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(2) $\sin \theta = \frac{3}{4}$で、$90^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\cos \theta < 0$。

$\cos \theta = - \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = - \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = - \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = - \sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(3) $\tan \theta = -\frac{4}{3}$で、$0^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\theta$は鈍角なので$\sin \theta > 0$かつ$\cos \theta < 0$。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$なので、$\sin \theta = - \frac{4}{3}\cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$に代入すると、

$(\frac{16}{9} + 1) \cos^2 \theta = 1$

$\frac{25}{9}\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{25}$

$\cos \theta = -\frac{3}{5}$

$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

パート1（問題19）:

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(4) $\cos(90^\circ - \theta) = \frac{2}{3}$

(5) $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(6) $\sin(180^\circ - \theta) = \frac{2}{3}$

(7) $\cos(180^\circ - \theta) = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

(8) $\tan(180^\circ - \theta) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(9) $\sin(90^\circ + \theta) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(10) $\cos(90^\circ + \theta) = -\frac{2}{3}$

(11) $\tan(90^\circ + \theta) = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

パート2（問題20）:

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan \theta = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(3) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$, $\sin \theta = \frac{4}{5}$