四面体OABCにおいて、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$で定まる点Gがある。直線CGと三角形OABの交点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$を、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$で定まる点Gがある。直線CGと三角形OABの交点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$を、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

交点Pは直線CG上にあるので、実数$t$を用いて $\vec{OP} = \vec{OC} + t(\vec{OG} - \vec{OC})$ と表せる。

$\vec{OG}$の定義を代入すると、

$\vec{OP} = \vec{OC} + t(\frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4} - \vec{OC})$

$= \vec{OC} + t(\frac{\vec{OA} + \vec{OB} - 3\vec{OC}}{4})$

$= \frac{t}{4}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB} + (1 - \frac{3t}{4})\vec{OC}$ ...(1)

また、点PはO,A,Bを含む平面上の点なので、実数$l, m$を用いて

$\vec{OP} = l\vec{OA} + m\vec{OB}$ ...(2)

と表せる。

(1), (2)より

$\frac{t}{4}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB} + (1 - \frac{3t}{4})\vec{OC} = l\vec{OA} + m\vec{OB}$

$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$は線形独立だから、係数を比較して、

$\frac{t}{4} = l, \frac{t}{4} = m, 1 - \frac{3t}{4} = 0$

$1 - \frac{3t}{4} = 0$を解くと、$\frac{3t}{4} = 1$より、$t = \frac{4}{3}$

$\frac{t}{4} = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$

したがって、$l = m = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$