四角形ABCDは平行四辺形であり、辺BCをCの方向に延長した直線上にBC=CEとなる点Eを取る。線分AEと辺CDの交点をFとする。 (1) $\angle BCF = 110^\circ$, $\angle BAF = 60^\circ$のとき、$\angle CEF$の大きさを求める。 (2) $\triangle DEF$の面積が$6cm^2$のとき、四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDは平行四辺形であり、辺BCをCの方向に延長した直線上にBC=CEとなる点Eを取る。線分AEと辺CDの交点をFとする。

(1) $\angle BCF = 110^\circ$, $\angle BAF = 60^\circ$のとき、$\angle CEF$の大きさを求める。

(2) $\triangle DEF$の面積が$6cm^2$のとき、四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle ABC$を求める。平行四辺形の性質より、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BCF = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$である。

次に、$\angle BAC$を求める。$\angle BAC = \angle BAE + \angle EAF$である。平行四辺形の対角は等しいので$\angle ADC = \angle ABC = 70^\circ$である。また、$AD // BC$なので$\angle DAF = \angle AEF$である。

$\angle DAF = \angle AEF$なので、$\angle ADE = \angle AEB$なので$AD = BC$であり、$BC=CE$なので$AD=CE$である。

$\angle DAF = \angle AEF$なので、$\triangle ADF$と$\triangle ECF$は相似である。

$AD=CE$なので、$\triangle ADF$と$\triangle ECF$は合同である。よって、$DF=CF$となり、$\triangle ADF$と$\triangle ECF$の面積は等しい。

$\angle BCF = 110^\circ$より、$\angle BCE = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$である。

$\angle ABC = 70^\circ$なので$\angle ABC = \angle BCE = 70^\circ$となり$\angle ABE = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$である。

$\triangle ABC$において、$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB)$

$\angle ACB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$である。

$\angle BAC = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ$

$\angle BAE = \angle BAC - \angle EAF = 40^\circ - 60^\circ$これはありえない。

$\angle CFE = \angle DAF$である。$\angle AFB = \angle CFE$である。

$\angle BAF = 60^\circ$なので、$\angle BFA = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 50^\circ$である。

$\angle CFE = \angle AFB = 50^\circ$なので、$\angle CEF = 180^\circ - (\angle ECF + \angle CFE)$

$\angle ECF = 180^\circ - \angle BCF = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$である。

$\angle CEF = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ$である。

(2)

$\triangle ADF \equiv \triangle ECF$より、$DF = CF$である。

$\triangle DEF = 6$である。$\triangle ADF = \triangle ECF$である。

$\triangle ADE = \triangle ADF + \triangle DEF = 6 + \triangle ADF$

$\triangle ACE = \triangle ECF + \triangle AEF = \triangle ADF + \triangle AEF = 2\triangle ADF + 6$

$\triangle ACE = 2\triangle ADF + \triangle DEF = 2 \times \triangle ADF + 6$

$\triangle CDF = \triangle ADE$

3. 最終的な答え

(1) $\angle CEF = 60^\circ$

(2) 解答不能