$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ で、かつ $\vec{a}, \vec{b}$ は平行でないとする。$\vec{OA} = 2\vec{a}, \vec{OB} = 3\vec{a} + 4\vec{b}, \vec{OC} = x\vec{a} - 6\vec{b}$ であるとき、3点A, B, Cが一直線上にあるように $x$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ で、かつ $\vec{a}, \vec{b}$ は平行でないとする。$\vec{OA} = 2\vec{a}, \vec{OB} = 3\vec{a} + 4\vec{b}, \vec{OC} = x\vec{a} - 6\vec{b}$ であるとき、3点A, B, Cが一直線上にあるように $x$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

3点A, B, Cが一直線上にあるための条件は、ある実数 $k$ が存在して $\vec{AC} = k\vec{AB}$ となることです。

まず、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表します。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (3\vec{a} + 4\vec{b}) - 2\vec{a} = \vec{a} + 4\vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (x\vec{a} - 6\vec{b}) - 2\vec{a} = (x-2)\vec{a} - 6\vec{b}$

$\vec{AC} = k\vec{AB}$ より、

$(x-2)\vec{a} - 6\vec{b} = k(\vec{a} + 4\vec{b}) = k\vec{a} + 4k\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではないので、

$x-2 = k$

$-6 = 4k$

この連立方程式を解きます。

$-6 = 4k$ より、 $k = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

$x-2 = k$ に $k = -\frac{3}{2}$ を代入して、

$x-2 = -\frac{3}{2}$

$x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$