問題[2]の(1)と(2)について、三角形の残りの辺の長さを求める問題です。 (1) は、与えられた辺と角の情報から $a$ の値を求める問題です。 (2) は、与えられた辺と角の情報から $b$ の値を求める問題です。 さらに、問題[3]は、$A=60^\circ$, $a=2\sqrt{3}$のときの三角形の辺や角について問う問題です。

1. 問題の内容

問題[2]の(1)と(2)について、三角形の残りの辺の長さを求める問題です。

(1) は、与えられた辺と角の情報から $a$ の値を求める問題です。

(2) は、与えられた辺と角の情報から $b$ の値を求める問題です。

さらに、問題[3]は、$A=60^\circ$, $a=2\sqrt{3}$のときの三角形の辺や角について問う問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、(1)の三角形について、$C = 45^\circ$, $B = 30^\circ$ であることが与えられています。

したがって、$A = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ となります。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 105^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、

$a = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{2}$

しかしながら、問題にはすでに $a = \sqrt{2}$ と書かれてしまっているので、これが正しいとします。

(2)

(2)の三角形について、$A = 45^\circ$、$C = 60^\circ$、$c = 2$ であることが与えられています。

正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$B = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

$\frac{b}{\sin 75^\circ} = \frac{2}{\sin 60^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$b = \frac{2 \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{3} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{3} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{2}$

(2) $b = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}$