## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 四面体OABCにおいて、ベクトルOAとベクトルBCが垂直ならば、

$|AB|^2 + |OC|^2 = |AC|^2 + |OB|^2$

であることを証明せよ。

(2) ベクトル $\vec{a} = (3, -4, 12)$, $\vec{b} = (-3, 0, 4)$、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ について、$\vec{c}$ と $\vec{a}$ のなす角と $\vec{c}$ と $\vec{b}$ のなす角が等しくなるような実数 $t$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### (1) の証明

$\vec{OA}$ と $\vec{BC}$ が垂直であるという条件は、$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = 0$ と表せる。

ここで、

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{OC} = \vec{AC} - \vec{OA}$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$

である。

まず、左辺を変形する。

$|AB|^2 + |OC|^2 = (\vec{OB} - \vec{OA})^2 + (\vec{OC})^2 = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 + |\vec{OC}|^2$

次に、右辺を変形する。

$|AC|^2 + |OB|^2 = (\vec{OC} - \vec{OA})^2 + |\vec{OB}|^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2$

したがって、示すべき式は、

$|\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 + |\vec{OC}|^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2$

これは、

$- 2\vec{OB} \cdot \vec{OA} = - 2\vec{OC} \cdot \vec{OA}$

と同値である。

さらに、

$\vec{OC} \cdot \vec{OA} - \vec{OB} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{OA} \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = 0$

$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = 0$

となり、これは仮定と一致する。

したがって、

$|AB|^2 + |OC|^2 = |AC|^2 + |OB|^2$

が成り立つ。

### (2) の計算

$\vec{a} = (3, -4, 12)$

$\vec{b} = (-3, 0, 4)$

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (3-3t, -4, 12+4t)$

$\vec{c}$ と $\vec{a}$ のなす角を $\theta_1$、$\vec{c}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta_2$ とする。

$\cos \theta_1 = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| |\vec{c}|}$

$\cos \theta_2 = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$

$\theta_1 = \theta_2$ より $\cos \theta_1 = \cos \theta_2$ なので、

$\frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| |\vec{c}|} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$

$|\vec{c}| \neq 0$ なので、

$\frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}|}$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9+0+16} = \sqrt{25} = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 3(3-3t) - 4(-4) + 12(12+4t) = 9 - 9t + 16 + 144 + 48t = 169 + 39t$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = -3(3-3t) + 0(-4) + 4(12+4t) = -9 + 9t + 0 + 48 + 16t = 39 + 25t$

よって、

$\frac{169+39t}{13} = \frac{39+25t}{5}$

$5(169+39t) = 13(39+25t)$

$845 + 195t = 507 + 325t$

$845 - 507 = 325t - 195t$

$338 = 130t$

$t = \frac{338}{130} = \frac{169}{65} = \frac{13}{5}$

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3. 最終的な答え

(1) 証明完了

(2) $t = \frac{13}{5}$