座標空間において、中心が点 $(a, a, a)$ である球面が、$xy$ 平面に接し、かつ点 $(1, 2, 1)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間において、中心が点 $(a, a, a)$ である球面が、$xy$ 平面に接し、かつ点 $(1, 2, 1)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

球面が $xy$ 平面に接するという条件から、球の半径は $|a|$ に等しい。

球の中心 $(a, a, a)$ と点 $(1, 2, 1)$ の間の距離が半径 $|a|$ に等しいことから、$a$ に関する方程式を立てる。

球の方程式は

$(x - a)^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2 = a^2$

である。

点 $(1, 2, 1)$ がこの球面上にあるので、

$(1 - a)^2 + (2 - a)^2 + (1 - a)^2 = a^2$

これを展開して整理すると、

$1 - 2a + a^2 + 4 - 4a + a^2 + 1 - 2a + a^2 = a^2$

$2a^2 - 8a + 6 = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

$(a - 1)(a - 3) = 0$

よって、$a = 1$ または $a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 1$ または $a = 3$