問題は2つあります。 一つ目の問題は、空間における3点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$としたとき、以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す問題です。 (1) 線分ABを3:4に内分する点D (2) 線分BCを2:3に外分する点E (3) 線分ACの中点M (4) △ABMの重心G 二つ目の問題は、ベクトル$\vec{a}=(1, x, y)$が、2つのベクトル$\vec{b}=(0, 1, 2), \vec{c}=(-1, 2, 0)$の両方に垂直であるとき、$x, y$の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

一つ目の問題は、空間における3点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$としたとき、以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す問題です。

(1) 線分ABを3:4に内分する点D

(2) 線分BCを2:3に外分する点E

(3) 線分ACの中点M

(4) △ABMの重心G

二つ目の問題は、ベクトル$\vec{a}=(1, x, y)$が、2つのベクトル$\vec{b}=(0, 1, 2), \vec{c}=(-1, 2, 0)$の両方に垂直であるとき、$x, y$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

一つ目の問題：

(1) 線分ABを3:4に内分する点Dの位置ベクトル$\vec{d}$は、

$\vec{d} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{b}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

(2) 線分BCを2:3に外分する点Eの位置ベクトル$\vec{e}$は、

$\vec{e} = \frac{-3\vec{b} + 2\vec{c}}{2-3} = 3\vec{b} - 2\vec{c}$

(3) 線分ACの中点Mの位置ベクトル$\vec{m}$は、

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(4) △ABMの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{m}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}}{3} = \frac{\frac{3}{2}\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}}{3} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

二つ目の問題：

ベクトル$\vec{a}$が$\vec{b}$と$\vec{c}$の両方に垂直であることから、内積が0になることを利用します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$かつ$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1*0 + x*1 + y*2 = x + 2y = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1*(-1) + x*2 + y*0 = -1 + 2x = 0$

上記2つの式を連立方程式として解きます。

$x + 2y = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} + 2y = 0$

$2y = -\frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

一つ目の問題：

(1) $\vec{d} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

(2) $\vec{e} = 3\vec{b} - 2\vec{c}$

(3) $\vec{m} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(4) $\vec{g} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

二つ目の問題：

$x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{4}$