三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 6$, $BC = 7$とする。辺AB上に点Pをとり、$AP = t$ ($0 < t < 5$)とする。辺ACのC側の延長上に点Qを、三角形ABCの面積と三角形APQの面積が等しくなるようにとる。BCとPQの交点をMとする。BMの長さおよびAQの長さを$t$で表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 6$, $BC = 7$とする。辺AB上に点Pをとり、$AP = t$ ($0 < t < 5$)とする。辺ACのC側の延長上に点Qを、三角形ABCの面積と三角形APQの面積が等しくなるようにとる。BCとPQの交点をMとする。BMの長さおよびAQの長さを$t$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積と三角形APQの面積が等しいことから、AQの長さを求める。

三角形ABCの面積をSとすると、三角形APQの面積もSとなる。三角形の面積の公式から、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} AP \cdot AQ \cdot \sin A$

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot t \cdot AQ \cdot \sin A$

$30 = t \cdot AQ$

よって、$AQ = \frac{30}{t}$

(2) メネラウスの定理を用いて、BM/MCの比を求める。

三角形ABCにおいて、直線PQが辺ABをPで、辺BCをMで、辺CAをQで交わるとすると、メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{AQ - AC}{AQ} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{\frac{30}{t} - 6}{\frac{30}{t}} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{30-6t}{30} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{5-t}{5} = 1$

$\frac{t}{5} \cdot \frac{BM}{MC} = 1$

$\frac{BM}{MC} = \frac{5}{t}$

$BM = \frac{5}{t} MC$

(3) BMの長さを求める。

$BM + MC = BC = 7$より、$MC = 7 - BM$

$BM = \frac{5}{t} (7 - BM)$

$BM = \frac{35}{t} - \frac{5}{t} BM$

$BM + \frac{5}{t} BM = \frac{35}{t}$

$BM (1 + \frac{5}{t}) = \frac{35}{t}$

$BM (\frac{t+5}{t}) = \frac{35}{t}$

$BM = \frac{35}{t} \cdot \frac{t}{t+5} = \frac{35}{t+5}$

3. 最終的な答え

$AQ = \frac{30}{t}$

$BM = \frac{35}{t+5}$