平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をMとし、対角線ACとBMの交点をPとする。$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AD}$を用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をMとし、対角線ACとBMの交点をPとする。$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AD}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AM}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AD}$で表します。

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}$

$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$

したがって、

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$

次に、点Pは対角線AC上にあるので、実数sを用いて、

$\overrightarrow{AP} = s \overrightarrow{AC}$と表せる。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$なので、

$\overrightarrow{AP} = s(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$

$\overrightarrow{AP} = s \overrightarrow{AB} + s \overrightarrow{AD}$ ...(1)

また、点Pは直線BM上にあるので、実数tを用いて、

$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AM}$と表せる。

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$を代入すると、

$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$

$\overrightarrow{AP} = (1-t+\frac{1}{2}t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AP} = (1-\frac{1}{2}t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD}$ ...(2)

(1)と(2)を比較すると、

$s = 1-\frac{1}{2}t$

$s = t$

これらを解くと、$s = \frac{2}{3}$, $t = \frac{2}{3}$

したがって、

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$