3点A(-3, 1, 2), B(-2, 3, 1), C(-1, 2, 3)が与えられたとき、 (1) $\angle BAC = \theta$ を求めよ。ただし $0^\circ < \theta < 180^\circ$ とする。 (2) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(-3, 1, 2), B(-2, 3, 1), C(-1, 2, 3)が与えられたとき、

(1) $\angle BAC = \theta$ を求めよ。ただし $0^\circ < \theta < 180^\circ$ とする。

(2) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求める。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}$ より、

$\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1)(2) + (2)(1) + (-1)(1) = 2 + 2 - 1 = 3$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

$\cos{\theta} = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$

(2) $\triangle ABC$ の面積は、

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin{\theta}$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{6} \sqrt{6} \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ$

(2) $\triangle ABC$ の面積は $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$