一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHについて、以下のベクトルの内積を求める問題です。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ (4) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH}$ (5) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF}$

幾何学ベクトル内積空間図形立方体
2025/6/23

1. 問題の内容

一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHについて、以下のベクトルの内積を求める問題です。
(1) ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
(2) ABBC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
(3) ABCD\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}
(4) ABCH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH}
(5) ACBF\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF}

2. 解き方の手順

(1) ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
AB\overrightarrow{AB}AC\overrightarrow{AC}のなす角は45度です。AB=2|\overrightarrow{AB}| = 2, AC=22|\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{2}なので、
ABAC=ABACcos45=22212=4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos 45^\circ = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4
(2) ABBC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
AB\overrightarrow{AB}BC\overrightarrow{BC}は垂直なので、ABBC=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
(3) ABCD\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}
AB\overrightarrow{AB}CD\overrightarrow{CD}は平行で逆向きなので、CD=BA\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{BA}です。AB\overrightarrow{AB}CD\overrightarrow{CD}のなす角は180度です。 AB=2|\overrightarrow{AB}| = 2, CD=2|\overrightarrow{CD}| = 2なので、
ABCD=ABCDcos180=22(1)=4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}| \cos 180^\circ = 2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4
(4) ABCH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH}
ABCH=(0,2,0)(2,0,2)=02+20+02=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CH} = (0, 2, 0) \cdot (2, 0, -2) = 0*2 + 2*0 + 0*-2 = 0
(5) ACBF\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF}
ACBF=(2,2,0)(0,0,2)=0\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BF} = (2,2,0) \cdot (0,0,2) = 0

3. 最終的な答え

(1) 4
(2) 0
(3) -4
(4) 0
(5) 0

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