$AB = 10$, $AC = 5$, $\angle A = 90^\circ$ である直角三角形 $ABC$ がある。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、次のベクトルを $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表しているものを全て選ぶ。 (1) $\vec{AB}$ と同じ向きの単位ベクトル (2) $\vec{BC}$ と平行な単位ベクトル

1. 問題の内容

$AB = 10$, $AC = 5$, $\angle A = 90^\circ$ である直角三角形 $ABC$ がある。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、次のベクトルを $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表しているものを全て選ぶ。

(1) $\vec{AB}$ と同じ向きの単位ベクトル

(2) $\vec{BC}$ と平行な単位ベクトル

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AB}$ と同じ向きの単位ベクトルは、$\vec{AB}$ の大きさを $AB = 10$ で割れば良いので、

$$\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \frac{\vec{b}}{10}$$

(2) $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$ である。

$\vec{BC}$ と平行な単位ベクトルは、$\vec{BC}$ の大きさを求める必要がある。

$|\vec{BC}| = \sqrt{BC^2} = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

よって、$\vec{BC}$ と平行な単位ベクトルは、

$$\pm\frac{\vec{BC}}{|\vec{BC}|} = \pm\frac{\vec{c} - \vec{b}}{5\sqrt{5}}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\vec{b}}{10}$

(2) $\pm\frac{\vec{c} - \vec{b}}{5\sqrt{5}}$