ある地点Aから木の先端Pの仰角を測ると30°であった。地点Aから木に向かって水平に10m進んだ地点BからPの仰角を測ると45°であった。この木の高さを求めよ。

1. 問題の内容

ある地点Aから木の先端Pの仰角を測ると30°であった。地点Aから木に向かって水平に10m進んだ地点BからPの仰角を測ると45°であった。この木の高さを求めよ。

2. 解き方の手順

木の高さPQを $h$ (m)とおく。

三角形APQは直角三角形であるから、

$\tan 30^\circ = \frac{PQ}{AQ}$

したがって、

$AQ = \frac{PQ}{\tan 30^\circ} = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}h$

また、三角形BPQも直角三角形であるから、

$\tan 45^\circ = \frac{PQ}{BQ}$

したがって、

$BQ = \frac{PQ}{\tan 45^\circ} = \frac{h}{1} = h$

$AQ = AB + BQ$ より、

$\sqrt{3}h = 10 + h$

$(\sqrt{3} - 1)h = 10$

$h = \frac{10}{\sqrt{3}-1} = \frac{10(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{10(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{10(\sqrt{3}+1)}{2} = 5\sqrt{3} + 5$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{3} + 5$ (m)