平行四辺形ABCDにおいて、辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとする。ベクトル$\overrightarrow{MN}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{AD}$を用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BC, CDの中点をそれぞれM, Nとする。ベクトル$\overrightarrow{MN}$をベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{AD}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{MN}$を$\overrightarrow{MC}$と$\overrightarrow{CN}$を使って表す。

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN}$

$\overrightarrow{MC}$を$\overrightarrow{BC}$で表し、$\overrightarrow{CN}$を$\overrightarrow{CD}$で表す。MとNはそれぞれBCとCDの中点であるから、

$\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD}$

よって、

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD}$

平行四辺形ABCDより、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$が成り立つ。

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} (-\overrightarrow{AB})$

$\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$