3点A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) が定める平面に原点Oから垂線OHを下ろす。$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

1. 問題の内容

3点A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) が定める平面に原点Oから垂線OHを下ろす。$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、平面ABCの方程式を求める。平面ABC上の任意の点をPとすると、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} + u\overrightarrow{OC}$ と表すことができる。ただし、$s+t+u=1$。よって、$\overrightarrow{OP} = s(2, 0, 0) + t(0, 2, 0) + u(0, 0, 3) = (2s, 2t, 3u)$ となる。

平面ABCの方程式は、$ax + by + cz = d$ の形になる。点A, B, Cを通るので、それぞれ代入すると、

$2a = d$

$2b = d$

$3c = d$

これより、$a = \frac{d}{2}, b = \frac{d}{2}, c = \frac{d}{3}$となる。

したがって、平面ABCの方程式は、$\frac{d}{2}x + \frac{d}{2}y + \frac{d}{3}z = d$。両辺を$d$で割ると、$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$。両辺に6をかけると、$3x + 3y + 2z = 6$ となる。

次に、$\overrightarrow{OH}$は平面ABCに垂直なので、$\overrightarrow{OH} = k(3, 3, 2)$ と表せる。したがって、点Hの座標は $(3k, 3k, 2k)$ となる。点Hは平面ABC上にあるので、$3(3k) + 3(3k) + 2(2k) = 6$ が成り立つ。

$9k + 9k + 4k = 6$

$22k = 6$

$k = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

したがって、$\overrightarrow{OH} = \frac{3}{11}(3, 3, 2) = (\frac{9}{11}, \frac{9}{11}, \frac{6}{11})$ となる。

$\overrightarrow{OA} = (2, 0, 0)$, $\overrightarrow{OB} = (0, 2, 0)$, $\overrightarrow{OC} = (0, 0, 3)$ なので、$\overrightarrow{OH} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC}$ と表せる。

$(\frac{9}{11}, \frac{9}{11}, \frac{6}{11}) = \alpha(2, 0, 0) + \beta(0, 2, 0) + \gamma(0, 0, 3)$

$(\frac{9}{11}, \frac{9}{11}, \frac{6}{11}) = (2\alpha, 2\beta, 3\gamma)$

$2\alpha = \frac{9}{11} \Rightarrow \alpha = \frac{9}{22}$

$2\beta = \frac{9}{11} \Rightarrow \beta = \frac{9}{22}$

$3\gamma = \frac{6}{11} \Rightarrow \gamma = \frac{2}{11}$

よって、$\overrightarrow{OH} = \frac{9}{22}\overrightarrow{OA} + \frac{9}{22}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{11}\overrightarrow{OC}$ となる。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OH} = \frac{9}{22}\overrightarrow{OA} + \frac{9}{22}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{11}\overrightarrow{OC}$