複素数平面上に3点P($i$), Q(3), R($2+2i$) があるとき、$\angle QPR$を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点P($i$), Q(3), R($2+2i$) があるとき、$\angle QPR$を求める。

2. 解き方の手順

$\angle QPR$は、ベクトル$\overrightarrow{PR}$をベクトル$\overrightarrow{PQ}$の方向に回転させた角度の偏角に相当する。

つまり、$\angle QPR = \arg \frac{2+2i-i}{3-i} = \arg \frac{2+i}{3-i}$となる。

ここで、$\frac{2+i}{3-i}$を計算する。

$\frac{2+i}{3-i} = \frac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{6+2i+3i+i^2}{9-i^2} = \frac{6+5i-1}{9+1} = \frac{5+5i}{10} = \frac{1+i}{2}$

$\frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

この複素数の偏角$\theta$は、$\tan \theta = \frac{1/2}{1/2} = 1$を満たす。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$となる。

3. 最終的な答え

$\angle QPR = \frac{\pi}{4}$