(1) 点$(5,1)$を通り、直線 $y=2x-5$ に平行な直線の方程式を求める。 (4) 点$(6,2)$を通り、直線 $y=3x+2$ に垂直な直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 点$(5,1)$を通り、直線 $y=2x-5$ に平行な直線の方程式を求める。

(4) 点$(6,2)$を通り、直線 $y=3x+2$ に垂直な直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行な直線の傾きは等しい。直線 $y=2x-5$ の傾きは$2$なので、求める直線の方程式は $y=2x+b$ と表せる。この直線が点$(5,1)$を通るので、$x=5$, $y=1$ を代入すると、$1=2(5)+b$ となる。これから$b$を求める。

$1 = 2(5) + b$

$1 = 10 + b$

$b = 1 - 10 = -9$

したがって、求める直線の方程式は $y=2x-9$ である。

(4) 垂直な直線の傾きの積は $-1$ である。直線 $y=3x+2$ の傾きは$3$なので、求める直線の傾きを $m$ とすると、$3m = -1$ より、$m = -\frac{1}{3}$ となる。したがって、求める直線の方程式は $y=-\frac{1}{3}x+b$ と表せる。この直線が点$(6,2)$を通るので、$x=6$, $y=2$ を代入すると、$2 = -\frac{1}{3}(6)+b$ となる。これから$b$を求める。

$2 = -\frac{1}{3}(6) + b$

$2 = -2 + b$

$b = 2 + 2 = 4$

したがって、求める直線の方程式は $y=-\frac{1}{3}x+4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y=2x-9$

(4) $y=-\frac{1}{3}x+4$