$AB = 12, AC = 5, \angle CA = 90^\circ$ である直角三角形 $ABC$ がある。$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、次のベクトルを $\vec{b}, \vec{c}$ を用いて表したものを全て選べ。 (1) $\vec{c}$ と同じ向きの単位ベクトル (2) $\vec{BC}$ と平行な単位ベクトル

1. 問題の内容

$AB = 12, AC = 5, \angle CA = 90^\circ$ である直角三角形 $ABC$ がある。$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}$ とするとき、次のベクトルを $\vec{b}, \vec{c}$ を用いて表したものを全て選べ。

(1) $\vec{c}$ と同じ向きの単位ベクトル

(2) $\vec{BC}$ と平行な単位ベクトル

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c}$ と同じ向きの単位ベクトルは、$\vec{c}$ の大きさを求めて、$\vec{c}$ をその大きさで割ればよい。

$\vec{c}$ の大きさは、$|\vec{c}| = AC = 5$ であるから、$\vec{c}$ と同じ向きの単位ベクトルは、

$\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{c}}{5}$

(2) $\vec{BC}$ と平行な単位ベクトルを求める。

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{BC}$ の大きさは、ピタゴラスの定理より、$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$

よって、$\vec{BC}$ の大きさは $|\vec{BC}| = 13$ であるから、$\vec{BC}$ と平行な単位ベクトルは、

$\pm \frac{\vec{BC}}{|\vec{BC}|} = \pm \frac{\vec{c} - \vec{b}}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5}\vec{c}$

(2) $\pm \frac{1}{13}(\vec{c} - \vec{b})$