ベクトル $\vec{n} = (-1, \sqrt{3})$ に垂直で、原点からの距離が4である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{n} = (-1, \sqrt{3})$ に垂直で、原点からの距離が4である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式を $ax + by + c = 0$ とおく。

ベクトル $\vec{n} = (-1, \sqrt{3})$ は直線の法線ベクトルであるから、$a = -1, b = \sqrt{3}$ とすることができる。

よって、直線の方程式は $-x + \sqrt{3}y + c = 0$ と表せる。

次に、原点からの距離が4であるという条件を使う。

点と直線の距離の公式より、原点 $(0, 0)$ と直線 $-x + \sqrt{3}y + c = 0$ の距離は、

$$$$

\frac{|-0 + \sqrt{3} \cdot 0 + c|}{\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{1+3}} = \frac{|c|}{2}

$$$$

これが4に等しいので、

$$$$

\frac{|c|}{2} = 4

$$$$

より、 $|c| = 8$ なので、$c = 8$ または $c = -8$ である。

したがって、直線の方程式は $-x + \sqrt{3}y + 8 = 0$ または $-x + \sqrt{3}y - 8 = 0$ となる。

これらを整理すると、$x - \sqrt{3}y - 8 = 0$ または $x - \sqrt{3}y + 8 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

求める直線の方程式は、$x - \sqrt{3}y - 8 = 0$ または $x - \sqrt{3}y + 8 = 0$ である。