問題は三角比の値を求める問題です。 (1) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ を求める。 (2) $\sin A = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ を求める。

1. 問題の内容

問題は三角比の値を求める問題です。

(1) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ を求める。

(2) $\sin A = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき

三角比の相互関係 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して、$\sin A$ を求める。

$\sin^2 A + (\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin A = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$A$ が鋭角であると仮定すると、$\sin A > 0$ なので、$\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sin A = \frac{2}{5}$ のとき

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して、$\cos A$ を求める。

$(\frac{2}{5})^2 + \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\cos A = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$A$ が鋭角であると仮定すると、$\cos A > 0$ なので、$\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan A = 2\sqrt{2}$

(2) $\cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}$, $\tan A = \frac{2\sqrt{21}}{21}$