$a$ を正の定数とする。平面上に $\triangle ABC$ と点 $P$ があり、$2\vec{PA} + a\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ を満たしている。 (1) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表す。 (2) 直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。点 $D$ が辺 $BC$ を $5:2$ に内分する点になるときの $a$ の値を求める。 (3) $\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。点 $P$ が直線 $AG$ 上にあるときの $a$ の値を求める。また、そのとき $\triangle ABP$ の面積が $\triangle ABC$ の面積の何倍になるかを求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。平面上に $\triangle ABC$ と点 $P$ があり、$2\vec{PA} + a\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ を満たしている。

(1) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表す。

(2) 直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。点 $D$ が辺 $BC$ を $5:2$ に内分する点になるときの $a$ の値を求める。

(3) $\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。点 $P$ が直線 $AG$ 上にあるときの $a$ の値を求める。また、そのとき $\triangle ABP$ の面積が $\triangle ABC$ の面積の何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表す。

$2\vec{PA} + a\vec{PB} + 3\vec{PC} = \vec{0}$ より、$2(\vec{A}-\vec{P}) + a(\vec{B}-\vec{P}) + 3(\vec{C}-\vec{P}) = \vec{0}$

$(2+a+3)\vec{P} = 2\vec{A} + a\vec{B} + 3\vec{C}$

$\vec{P} = \frac{2\vec{A} + a\vec{B} + 3\vec{C}}{5+a}$

$\vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \frac{2\vec{A} + a\vec{B} + 3\vec{C}}{5+a} - \vec{A}$

$= \frac{2\vec{A} + a\vec{B} + 3\vec{C} - (5+a)\vec{A}}{5+a} = \frac{(2-5-a)\vec{A} + a\vec{B} + 3\vec{C}}{5+a}$

$= \frac{-(3+a)\vec{A} + a\vec{B} + 3\vec{C}}{5+a}$

$= \frac{a\vec{AB} + 3\vec{AC}}{5+a}$

よって、$\vec{AP} = \frac{a}{5+a} \vec{AB} + \frac{3}{5+a} \vec{AC}$

(2) 点 $D$ が辺 $BC$ を $5:2$ に内分するので $\vec{AD} = \frac{2\vec{AB} + 5\vec{AC}}{7}$

点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、$\vec{AD} = k\vec{AP}$ と表せる。

$\frac{2\vec{AB} + 5\vec{AC}}{7} = k(\frac{a}{5+a} \vec{AB} + \frac{3}{5+a} \vec{AC})$

$\frac{2}{7} = k\frac{a}{5+a}$, $\frac{5}{7} = k\frac{3}{5+a}$

$\frac{2}{7} / \frac{a}{5+a} = \frac{5}{7} / \frac{3}{5+a}$

$\frac{2(5+a)}{7a} = \frac{5(5+a)}{21}$

$2(5+a) \cdot 21 = 5(5+a) \cdot 7a$

$42(5+a) = 35a(5+a)$

$6(5+a) = 5a(5+a)$

$30+6a = 25a+5a^2$

$5a^2+19a-30=0$

$(5a-6)(a+5)=0$

$a>0$ より $a=\frac{6}{5}$

(3) 点 $P$ が直線 $AG$ 上にあるとき、$\vec{AP} = k\vec{AG}$と表せる。

$\vec{AG} = \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}$ より、$\vec{AP} = k \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}$

(1)より $\vec{AP} = \frac{a}{5+a} \vec{AB} + \frac{3}{5+a} \vec{AC}$

よって $\frac{a}{5+a} = \frac{3}{5+a} = \frac{k}{3}$

$a=3$

$\vec{AP} = \frac{3}{8}\vec{AB} + \frac{3}{8}\vec{AC} = \frac{3}{8}(\vec{AB}+\vec{AC})$

点 $M$ を辺 $BC$ の中点とすると $\vec{AM} = \frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}$

$\vec{AP} = \frac{3}{4}\vec{AM}$

$\triangle ABC = 2 \triangle ABM$

$S_{\triangle ABP} = \frac{3}{4} S_{\triangle ABM} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{3}{8} S_{\triangle ABC}$

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: 3

ウ: 5

エ: 6

オ: 5

カ: 3

キ: 3

ク: 8