2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直になるように、定数 $k$ の値を定める問題です。 $l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、$l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5+kt$, $z = -3+2t$ (ただし、$t$ は実数) で表されます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直になるように、定数 $k$ の値を定める問題です。

$l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、$l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5+kt$, $z = -3+2t$ (ただし、$t$ は実数) で表されます。

2. 解き方の手順

直線 $l_1$ の方向ベクトルを $\vec{v_1}$、直線 $l_2$ の方向ベクトルを $\vec{v_2}$ とします。

$l_1$ の方程式から、方向ベクトルは $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$ となります。

$l_2$ の方程式から、方向ベクトルは $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ k \\ 2 \end{pmatrix}$ となります。

2つの直線が垂直であるための条件は、それらの方向ベクトルの内積が 0 であることです。つまり、$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ が成立します。

よって、

$4(-3) + 6(k) + 3(2) = 0$

$-12 + 6k + 6 = 0$

$6k - 6 = 0$

$6k = 6$

$k = 1$

3. 最終的な答え

$k = 1$