次の不等式の表す領域を図示する問題です。 (1) $y < -x^2 - 2x + 1$ (2) $(|x| - 2)^2 + (|y| - 2)^2 \leq 1$

1. 問題の内容

次の不等式の表す領域を図示する問題です。

(1) $y < -x^2 - 2x + 1$

(2) $(|x| - 2)^2 + (|y| - 2)^2 \leq 1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -x^2 - 2x + 1$ のグラフを描きます。これは上に凸な放物線です。平方完成をすると、

$y = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1) + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2$

頂点は $(-1, 2)$ となります。

不等式 $y < -x^2 - 2x + 1$ は、この放物線の下側の領域を表します。放物線は境界を含みません。

(2)

不等式 $(|x| - 2)^2 + (|y| - 2)^2 \leq 1$ を考えます。

まず、$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ の領域を考えます。このとき、$|x| = x$、$|y| = y$ となるので、

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1$

これは、中心が $(2, 2)$、半径が $1$ の円の内部（境界を含む）を表します。

次に、$x < 0$ かつ $y \geq 0$ の領域を考えます。このとき、$|x| = -x$、$|y| = y$ となるので、

$(-x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1$

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1$

これは、中心が $(-2, 2)$、半径が $1$ の円の内部（境界を含む）を表します。

次に、$x \geq 0$ かつ $y < 0$ の領域を考えます。このとき、$|x| = x$、$|y| = -y$ となるので、

$(x - 2)^2 + (-y - 2)^2 \leq 1$

$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 \leq 1$

これは、中心が $(2, -2)$、半径が $1$ の円の内部（境界を含む）を表します。

最後に、$x < 0$ かつ $y < 0$ の領域を考えます。このとき、$|x| = -x$、$|y| = -y$ となるので、

$(-x - 2)^2 + (-y - 2)^2 \leq 1$

$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 \leq 1$

これは、中心が $(-2, -2)$、半径が $1$ の円の内部（境界を含む）を表します。

したがって、この領域は、中心が $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, -2)$ で、半径が $1$ の4つの円の内部（境界を含む）を合わせたものになります。

3. 最終的な答え

(1) $y < -x^2 - 2x + 1$ は、頂点が $(-1, 2)$ の上に凸な放物線 $y = -x^2 - 2x + 1$ の下側の領域（境界を含まない）。

(2) $(|x| - 2)^2 + (|y| - 2)^2 \leq 1$ は、中心が $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, -2)$ で、半径が $1$ の4つの円の内部（境界を含む）。