正六角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数

正六角形の頂点は6個です。3つの頂点を選んで三角形を作るので、組み合わせの数で求めることができます。ただし、正六角形のどの3つの頂点を選んでも三角形になるので、特別な考慮は不要です。

組み合わせの計算は $_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で求められます。

したがって、三角形の個数は $_{6}C_{3}$ で計算できます。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 線分の本数

正六角形の頂点は6個です。2つの頂点を選んで線分を作るので、組み合わせの数で求めることができます。

組み合わせの計算は $_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で求められます。

したがって、線分の本数は $_{6}C_{2}$ で計算できます。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 対角線の本数

正六角形の頂点は6個です。線分の総数は(2)で求めたように15本です。このうち、正六角形の辺は6本なので、対角線の本数は線分の総数から辺の数を引いたものになります。

対角線の本数 = 線分の総数 - 辺の数 = 15 - 6 = 9

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数：20個

(2) 線分の本数：15本

(3) 対角線の本数：9本