三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、EFとBCは平行である。EB=4, AF=6, BC=12のとき、線分AE, FC, EGの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、EFとBCは平行である。EB=4, AF=6, BC=12のとき、線分AE, FC, EGの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、EF//BCであることから、三角形AEFと三角形ABCは相似である。

相似比を求めるために、$\frac{AF}{AC}$を考える。

$AC = AF + FC$である。

Gは三角形ABCの重心であることから、中線ADを考えたとき、GはADを2:1に内分する。また、EF//BCであることから、AE:EB = AF:FCが成り立つ。

$AE:EB = AF:FC$より、$AE:4 = 6:FC$となる。

次に、三角形AEFと三角形ABCの相似比を求める。

$\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}$が成り立つ。

ここで、$AB = AE + EB = AE + 4$, $AC = AF + FC = 6 + FC$, $BC = 12$である。

$AE:4 = 6:FC$を変形すると、$AE \cdot FC = 24$となる。

$\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AE+4}$より、$\frac{6}{6+FC} = \frac{AE}{AE+4}$

したがって、$6(AE+4) = AE(6+FC)$

$6AE+24 = 6AE + AE \cdot FC$

$24 = AE \cdot FC$

相似比 $\frac{AF}{AC} = \frac{AF}{AF+FC} = \frac{6}{6+FC}$を考える。

また、EF//BCより、$\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$なので、$\frac{AE}{AE+4} = \frac{6}{6+FC}$

$AE \cdot FC = 24$より、$FC = \frac{24}{AE}$

$\frac{AE}{AE+4} = \frac{6}{6 + \frac{24}{AE}}$

$\frac{AE}{AE+4} = \frac{6AE}{6AE + 24}$

$AE(6AE+24) = 6AE(AE+4)$

$6AE^2 + 24AE = 6AE^2 + 24AE$

ここで、$EF = \frac{1}{2}BC$なので、$EF=6$となる。

$\frac{EF}{BC} = \frac{AF}{AC}$より、$\frac{6}{12} = \frac{AF}{AC} = \frac{6}{AC}$

したがって、$AC=12$となり、$FC = AC - AF = 12 - 6 = 6$

$AE:4 = 6:6$より、$AE = 4$

AG:GD = 2:1であり、EG = $\frac{1}{3}AD$

$\frac{AE}{AB} = \frac{1}{3}$より、AE =4なので AB = 12

$\frac{AF}{AC} = \frac{1}{2}$なので AF = 6なので AC = 12

Gは重心なので、AE:EB = AF:FC。つまり、AE:4=6:FC。

また、EF//BCより三角形AEFと三角形ABCは相似。その相似比は1:2なのでAE=EBとAF=FC

AE=4、FC=6

Gは重心なので、EG=$\frac{1}{2}$GD。ADは中線なので、BD=DC=6。

三角形AEGと三角形ABDは相似なので、EG:BD=AE:AB

EG:6=4:8。EG=3

3. 最終的な答え

AE = 4 cm

FC = 6 cm

EG = 3 cm