1辺が $p$ mの正方形の土地の周りに、幅が $a$ mの道がある。道の真ん中を通る正方形の周の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

1辺が $p$ mの正方形の土地の周りに、幅が $a$ mの道がある。道の真ん中を通る正方形の周の長さを $l$ m、道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

土地の面積は $p^2$ m$^2$ である。

道を含めた全体の正方形の一辺の長さは $(p + 2a)$ mなので、全体の面積は $(p + 2a)^2$ m$^2$ である。

したがって、道の面積 $S$ は、

$S = (p + 2a)^2 - p^2$

$S = p^2 + 4ap + 4a^2 - p^2$

$S = 4ap + 4a^2$

次に、道の真ん中を通る正方形の周の長さ $l$ を求める。

道の真ん中を通る正方形の一辺の長さは $p + a$ mである。

したがって、$l$ は

$l = 4(p + a)$

$l = 4p + 4a$

ここで、$al$ を計算すると、

$al = a(4p + 4a)$

$al = 4ap + 4a^2$

したがって、$S = 4ap + 4a^2$ であり、$al = 4ap + 4a^2$ であるから、$S = al$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S = al$ である。