直交座標の方程式を極座標の方程式に変換する問題です。具体的には、以下の6つの式を極座標で表します。 (1) $x = 2$ (2) $x + 2y = 5$ (3) $y = x$ (4) $x^2 + y^2 = 2y$ (5) $y^2 = 4x$ (6) $y^2 - x^2 = 1$

1. 問題の内容

直交座標の方程式を極座標の方程式に変換する問題です。具体的には、以下の6つの式を極座標で表します。

(1) $x = 2$

(2) $x + 2y = 5$

(3) $y = x$

(4) $x^2 + y^2 = 2y$

(5) $y^2 = 4x$

(6) $y^2 - x^2 = 1$

2. 解き方の手順

直交座標$(x, y)$と極座標$(r, \theta)$の関係は、以下の通りです。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

これらの関係式を用いて、与えられた直交座標の方程式を極座標の方程式に変換します。

(1) $x = 2$

$r \cos \theta = 2$

$r = \frac{2}{\cos \theta}$

$r = 2 \sec \theta$

(2) $x + 2y = 5$

$r \cos \theta + 2r \sin \theta = 5$

$r(\cos \theta + 2 \sin \theta) = 5$

$r = \frac{5}{\cos \theta + 2 \sin \theta}$

(3) $y = x$

$r \sin \theta = r \cos \theta$

$\sin \theta = \cos \theta$

$\tan \theta = 1$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

(4) $x^2 + y^2 = 2y$

$r^2 = 2r \sin \theta$

$r = 2 \sin \theta$

(5) $y^2 = 4x$

$(r \sin \theta)^2 = 4r \cos \theta$

$r^2 \sin^2 \theta = 4r \cos \theta$

$r \sin^2 \theta = 4 \cos \theta$

$r = \frac{4 \cos \theta}{\sin^2 \theta}$

$r = 4 \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}$

$r = 4 \cot \theta \csc \theta$

(6) $y^2 - x^2 = 1$

$(r \sin \theta)^2 - (r \cos \theta)^2 = 1$

$r^2 \sin^2 \theta - r^2 \cos^2 \theta = 1$

$-r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 1$

$-r^2 \cos(2\theta) = 1$

$r^2 = -\frac{1}{\cos(2\theta)}$

$r^2 = - \sec(2\theta)$

3. 最終的な答え

(1) $r = 2 \sec \theta$

(2) $r = \frac{5}{\cos \theta + 2 \sin \theta}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(4) $r = 2 \sin \theta$

(5) $r = 4 \cot \theta \csc \theta$

(6) $r^2 = - \sec(2\theta)$