$\triangle ABC$ において、$AB=5, AC=6, BC=7$ である。辺 $AB$ 上に点 $P$ を $AP=t$ ($0 < t < 5$) となるようにとる。また、辺 $AC$ の $C$ の側への延長上に点 $Q$ を、$\triangle ABC$ の面積と $\triangle APQ$ の面積が等しくなるようにとる。$BC$ と $PQ$ の交点を $M$ とするとき、$BM$ の長さおよび $AQ$ の長さを $t$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=5, AC=6, BC=7$ である。辺 $AB$ 上に点 $P$ を $AP=t$ ($0 < t < 5$) となるようにとる。また、辺 $AC$ の $C$ の側への延長上に点 $Q$ を、$\triangle ABC$ の面積と $\triangle APQ$ の面積が等しくなるようにとる。$BC$ と $PQ$ の交点を $M$ とするとき、$BM$ の長さおよび $AQ$ の長さを $t$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積と $\triangle APQ$ の面積が等しいことから、$AQ$ の長さを求める。

$\triangle ABC$ の面積 = $\triangle APQ$ の面積 より、

$\frac{1}{2}AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2}AP \cdot AQ \sin A$

$AB \cdot AC = AP \cdot AQ$

$5 \cdot 6 = t \cdot AQ$

$AQ = \frac{30}{t}$

(2) メネラウスの定理を用いて、$BM$ の長さを求める。

$\triangle ABQ$ と直線 $PQ$ に対して、メネラウスの定理を用いると、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BM}{MQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MQ} \cdot \frac{AQ-AC}{AC} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MQ} \cdot \frac{\frac{30}{t} - 6}{6} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MQ} \cdot \frac{30 - 6t}{6t} = 1$

$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MQ} \cdot \frac{5 - t}{t} = 1$

$\frac{BM}{MQ} = 1$

よって、$BM = MQ$ となるので、$M$ は $BQ$ の中点である。

次に、$\triangle CPQ$ と直線 $BM$ に対して、メネラウスの定理を用いると、

$\frac{CB}{BM} \cdot \frac{MQ}{QP} \cdot \frac{PA}{AC} = 1$

$\frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BM}{MC} = 1$

$\frac{AQ-AC}{AQ} = \frac{\frac{30}{t}-6}{\frac{30}{t}}=\frac{30-6t}{30}=\frac{5-t}{5}$

$\frac{7}{BM} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{t}{5}=1$

$\frac{\frac{30}{t}-6}{\frac{30}{t}} \cdot \frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} = 1$

$\frac{AP}{AB} = \frac{t}{5}$

$\frac{BM}{MC} = \frac{PB \cdot AC}{AP(AQ - AC)} = \frac{(5-t)\cdot 6}{t(\frac{30}{t} - 6)} = \frac{6(5-t)}{t(\frac{30-6t}{t})} = \frac{6(5-t)}{30-6t} = \frac{6(5-t)}{6(5-t)} = 1$

よって、$BM = MC$ となるので、$M$ は $BC$ の中点である。

したがって、$BM = \frac{1}{2} BC = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$AQ = \frac{30}{t}$

$BM = \frac{7}{2}$