与えられた2つの方程式がどのような図形を表すかを答えます。どちらの方程式も $x^2$ と $y^2$ の係数が等しいので、円の方程式である可能性があります。円の方程式かどうかを判別するため、平方完成を行います。

1. 問題の内容

与えられた2つの方程式がどのような図形を表すかを答えます。どちらの方程式も $x^2$ と $y^2$ の係数が等しいので、円の方程式である可能性があります。円の方程式かどうかを判別するため、平方完成を行います。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$ について

まず、$x$の項と$y$の項をそれぞれまとめます。

$x^2 - 6x + y^2 - 4y - 12 = 0$

次に、平方完成を行います。

$x^2 - 6x$ を平方完成するには、$(x - 3)^2$ を考えます。このとき、$x^2 - 6x + 9$ となるので、$9$ を加える必要があります。

同様に、$y^2 - 4y$ を平方完成するには、$(y - 2)^2$ を考えます。このとき、$y^2 - 4y + 4$ となるので、$4$ を加える必要があります。

したがって、

$(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 - 12 = 0$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9 + 4 + 12$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25 = 5^2$

これは、中心 $(3, 2)$、半径 $5$ の円を表します。

(3) $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41 = 0$ について

まず、$x$の項と$y$の項をそれぞれまとめます。

$x^2 + 8x + y^2 - 10y + 41 = 0$

次に、平方完成を行います。

$x^2 + 8x$ を平方完成するには、$(x + 4)^2$ を考えます。このとき、$x^2 + 8x + 16$ となるので、$16$ を加える必要があります。

同様に、$y^2 - 10y$ を平方完成するには、$(y - 5)^2$ を考えます。このとき、$y^2 - 10y + 25$ となるので、$25$ を加える必要があります。

したがって、

$(x + 4)^2 - 16 + (y - 5)^2 - 25 + 41 = 0$

$(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 16 + 25 - 41$

$(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 0$

これは、点 $(-4, 5)$ を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(3, 2)$、半径 $5$ の円

(3) 点 $(-4, 5)$