直角二等辺三角形ABCの中に長方形PQCRがあり、長方形の面積が6 cm²以上12 cm²以下となるような辺ACの長さ $x$ の範囲を求める問題です。辺BCの長さは7 cmです。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCの中に長方形PQCRがあり、長方形の面積が6 cm²以上12 cm²以下となるような辺ACの長さ $x$ の範囲を求める問題です。辺BCの長さは7 cmです。

2. 解き方の手順

まず、長方形の面積を $x$ を用いて表します。

三角形ABCは直角二等辺三角形なので、AB=AC=7 cmです。

また、三角形APRも直角二等辺三角形であるため、AP = AR となります。

AR = BC - RC = 7 - x であるため、AP = 7 - x です。

したがって、長方形PQCRの面積は、RC * QC = x * (7 - x) で表されます。

$S = x(7-x)$

長方形の面積Sが6 cm²以上12 cm²以下なので、次の不等式が成り立ちます。

$6 \le x(7-x) \le 12$

この不等式を2つに分けて解きます。

(1) $x(7-x) \ge 6$

$7x - x^2 \ge 6$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

$(x-1)(x-6) \le 0$

$1 \le x \le 6$

(2) $x(7-x) \le 12$

$7x - x^2 \le 12$

$x^2 - 7x + 12 \ge 0$

$(x-3)(x-4) \ge 0$

$x \le 3$ または $x \ge 4$

(1)と(2)を同時に満たす $x$ の範囲を求めます。

$1 \le x \le 6$ と $x \le 3$ または $x \ge 4$ より、

$1 \le x \le 3$ または $4 \le x \le 6$

3. 最終的な答え

$1 \le x \le 3$ または $4 \le x \le 6$