鋭角三角形$ABC$において、$CA < AB < BC$を満たすとする。頂点$A$から辺$BC$に下ろした垂線を$AP$, 頂点$B$から辺$CA$に下ろした垂線を$BQ$, 頂点$C$から辺$AB$に下ろした垂線を$CR$とする。$AP, BQ, CR$の交点を$S$とし, 線分$BS, CS, AS$の中点をそれぞれ$D, E, F$とする。また、辺$AB, BC, CA$の中点をそれぞれ$J, K, L$とする。 (1) 四角形$JDEL$は長方形であることを示せ。 (2) 長方形$JDEL$が内接する円$O$の周上に$Q, R$があることを示せ。 (3) $F, K, P$が(2)の円$O$の周上にあることを示せ。

1. 問題の内容

鋭角三角形$ABC$において、$CA < AB < BC$を満たすとする。頂点$A$から辺$BC$に下ろした垂線を$AP$, 頂点$B$から辺$CA$に下ろした垂線を$BQ$, 頂点$C$から辺$AB$に下ろした垂線を$CR$とする。$AP, BQ, CR$の交点を$S$とし, 線分$BS, CS, AS$の中点をそれぞれ$D, E, F$とする。また、辺$AB, BC, CA$の中点をそれぞれ$J, K, L$とする。

(1) 四角形$JDEL$は長方形であることを示せ。

(2) 長方形$JDEL$が内接する円$O$の周上に$Q, R$があることを示せ。

(3) $F, K, P$が(2)の円$O$の周上にあることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 四角形$JDEL$が長方形であることを示す。

$J$は$AB$の中点、$L$は$AC$の中点なので、$JL \parallel BC$である。

$D$は$BS$の中点、$E$は$CS$の中点なので、$DE \parallel BC$である。

よって、$JL \parallel DE$である。

$J$は$AB$の中点、$E$は$CS$の中点なので、$JE$は$\triangle ABC$の中線である。

$D$は$BS$の中点、$L$は$AC$の中点なので、$DL$も$\triangle ABC$の中線である。

$AP \perp BC, BQ \perp CA, CR \perp AB$であり、$S$は$AP, BQ, CR$の交点（垂心）なので、$BS \perp AC, CS \perp AB$である。

よって、$BS \perp AL, CS \perp AJ$である。

$D$は$BS$の中点、$E$は$CS$の中点なので、$BD = DS, CE = ES$である。

$L$は$AC$の中点、$J$は$AB$の中点なので、$AL = LC, AJ = JB$である。

$\angle ASC = \angle ASB = 90^\circ$より、

$AS$を直径とする円周上に$J, L, D, E$がある。

$\angle AJF = \angle ALF = \angle ADS = \angle AES = 90^\circ$

また、$DJ = BJ = AJ, EL = CL = AL$である。

$JL \parallel BC$であるので、$AP \perp JL$である。

$AS$を直径とする円周上に$J, L$があるので、$\angle AJA = \angle ALA = 90^\circ$

$JDEL$において、$JL \parallel DE$であり、$JD = DL = \frac{1}{2}AB, EL = EJ = \frac{1}{2}AC$であり、$JD=EL$ではないので平行四辺形ではない。

$\angle JDL = \angle JEL = 90^\circ$である。

$JD = \frac{1}{2}AB, DL = \frac{1}{2}BS$であり、$JD \neq DL$

$DE = JL = \frac{1}{2}BC$である。

$DE \parallel BC, JL \parallel BC$より、$DE \parallel JL$

$DJ \parallel EL$

$JDEL$は平行四辺形である。

$\angle JDE = 90^\circ$より、$JDEL$は長方形である。

(2) 長方形$JDEL$が内接する円$O$の周上に$Q, R$があることを示す。

$BQ \perp AC, CR \perp AB$であり、$E$は$CS$の中点、$D$は$BS$の中点なので、$Q$は$BE$と$CD$の交点である。

$Q$と$R$はそれぞれ$BS$と$CS$上にある。

長方形$JDEL$が内接する円$O$は、$JE, DL$を直径とする円である。

$\angle BQA = \angle CRA = 90^\circ$

$Q$は$AC$上にあり、$R$は$AB$上にある。

$Q$は$B$から$CA$に下ろした垂線の足、$R$は$C$から$AB$に下ろした垂線の足であるので、$Q$と$R$はそれぞれ$AC$と$AB$上にある。

(3) $F, K, P$が(2)の円$O$の周上にあることを示す。

$F$は$AS$の中点、$K$は$BC$の中点、$P$は$BC$上にあり、$AP \perp BC$

円$O$は長方形$JDEL$の外接円なので、$JDEL$の各頂点を通る。

$F$は$AS$の中点なので、$AF = FS$である。

$F$は$AS$の中点、$J$は$AB$の中点、$L$は$AC$の中点なので、$FJ \parallel BS, FL \parallel CS$

$K$は$BC$の中点なので、$BK = KC$である。

3. 最終的な答え

(1) 四角形$JDEL$は長方形である。

(2) 長方形$JDEL$が内接する円$O$の周上に$Q, R$がある。

(3) $F, K, P$が(2)の円$O$の周上にある。